Cho hình chóp S.ABC có BC= 2 và các cạnh còn lại có độ dài bằng 1. Góc giữa hai đường thẳng SB và AC bằng
Cho hình chóp S.ABC có B C = 2 và các cạnh còn lại có độ dài bằng 1. Góc giữa hai đường thẳng SB và AC bằng
A. 45 °
B. 60 °
C. 30 °
D. 90 °
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , S A ⊥ A B C , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng A B C bằng 60 ° . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng:
A. a 2 2
B. 2 a
C. a 15 5
D. a 7 7
Đáp án C
S A ⊥ A B C ⇒ A B là hình chiếu vuông góc của SB lên A B C
⇒ S B , A B C ^ = S B , A B ^ = S B A ^ = 60 ° ⇒ S A = A B . tan 60 ° = a 3
Dựng d qua B và d / / A C
Dựng A K ⊥ d tại K
Dựng A H ⊥ S K tại H
Ta có B K ⊥ A K B K ⊥ S A ⇒ B K ⊥ S A K ⇒ B K ⊥ A H
+ B K ⊥ A H S K ⊥ A H ⇒ A H ⊥ S B K ⇒ d A , S B K = A H
+ B K / / A C S K ⊂ S B K A C ⊄ S B K ⇒ A C / / S B K ⇒ d A C , S B = d A , S B K = A H
Gọi M là trung điểm A C ⇒ B M ⊥ A C 1 ; B K ⊥ A K B K / / A C ⇒ A K ⊥ A C 2
1 , 2 ⇒ A K / / B M ⇒ A K B M là hình bình hành ⇒ A K = B M = a 3 2
Xét tam giác SAK vuông tại A ta có 1 A H 2 = 1 A K 2 + 1 S A 2 = 5 3 a 2 ⇒ A H = a 15 5
Vậy d A C , S B = a 15 5
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A ⊥ A B C , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 ° . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
A. a 2 2
B. a 15 5
C. 2a
D. a 7 7
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=AB=AC=a, BC=a 2 . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng ?
A. 90 o
B. 60 o
C. 45 o
D. 30 o
Đáp án là B
Cách 1. Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng.
Tam giác ABC vuông tại A
Do SA=SB=SC nên nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC mà tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC.
Dựng hình bình hành ABCD. Khi đó:(AB,SC)=(CD,SC) và CD=AB=a. Tam giác SBC vuông tại S
có SH là đường trùng tuyến nên SH= a 2 2
Tam giác CDH có
theo định lý Cô- Sin ta có
Tam giác SHD vuông tại H nên
Tam giác SCD có:
Cách 2. (Hay phù hợp với bài này) Ứng dụng tích vô hướng.
Theo giả thiết có
Ta có
Suy ra:
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a 2 . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng
A. 900.
B. 600.
C. 450.
D. 300.
Chọn B.
Cách 1. Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng
∆ ABC vuông tại A
Do SA = SB = SC nên nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) thì H là tâm đường trong ngoại tiếp tam giác ABC mà ∆ ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC. Dựng hình bình hành ABCD. Khi đó (AB;SC) = (CD;SC) và CD = AB = a
∆
SBC vuông tại S (vì có SH là đường trung tuyến nên SH =
a
2
2
theo định lí Cô – Sin ta có
∆ SHD vuông tại H nên
∆ SCD có
Cách 2. (Hay phù hợp với bài này) Ứng dụng tích vô hướng
Đặt Theo giả thiết ta có:
Ta có:
Xét
Suy ra:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A ⊥ A B C , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng(ABC) bằng 60 ° . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
A. a 15 5
B. a 2 2
C. a 7 7
D. 2a
Ta có S A ⊥ A B C ⇒ A B là hình chiếu của SB lên(ABC) .
Dựng hình bình hành ACBD.
Ta có
Do tam giác ABC đều
Ta có:
Trong (SAM) kẻ
Xét tam giác vuông SAB ta có
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAM ta có:
Chọn A.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi I là trung điểm cạnh BC. Biết góc giữa đường thẳng SI và mặt phẳng (ABC) bằng 60 ° . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC?
+) Hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng (ABC) là AI nên góc giữa SI và mặt phẳng (ABC) là:
(vì tam giác SIA vuông tại A nên góc SIA nhọn) ⇒
+) Xét tam giác SIA vuông tại A, nên:
+) Dựng hình bình hành ACBD, tam giác ABC đều nên tam giác ABD đều.
+) Ta có:
AC // BD; BD ⊂ (SBD) nên AC // (SBD).
mà SB ⊂ (SBD) nên d(AC, SB) = d(A, (SBD)).
- Gọi K là trung điểm đoạn BD, tam giác ABD đều suy ra AK ⊥ BD và mà BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAK).
- Dựng AH ⊥ SK; H ∈ SK.
- Lại có AH ⊥ BD suy ra AH ⊥ (SBD).
- Vậy d(A, (SBD)) = AH.
- Xét tam giác SAK vuông tại vuông tại A, đường cao AH ta có:
- Vậy d(AC, SB) = d(A, (SBD))
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và ∠ S B A = ∠ S C A = 90 0 . Biết góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng 45 0 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC là:
A. 2 51 17 a
B. 2 7 7 a
C. 39 13 a
D. 2 13 13 a
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SMH ta có:
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại C có AC=a,AB=2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa hai mf (SAB) và (SBC) bằng 45. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên các đường thẳng SB và SC. tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng HK và AC
Giúp em với ạ, em cảm ơn nhìu<3!!!
Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\SA\perp AC\\SA\perp BC\end{matrix}\right.\)
Mà BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC và BC ⊥ AH
Do BC ⊥ AH và AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ KH ⇒ \(\widehat{AHK}=90^0\)
ΔSAB và ΔSAC vuông tại A
Mà AH và AK lần lượt là đường cao của ΔSAB và ΔSAC
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SA^2=SK.SB\\SA^2=SH.SC\end{matrix}\right.\)
⇒ SK . SB = SH . SC
⇒ \(\dfrac{SK}{SH}=\dfrac{SC}{SB}\) ⇒ ΔSKH \(\sim\) ΔSCB ⇒ \(\widehat{SKH}=\widehat{SCB}=90^0\)
⇒ HK ⊥ SB
Mà AK⊥ SB
⇒ ((SAB),(SCB)) = (AK,AH) = \(\widehat{KAH}\) = 450 (đây là góc nhọn, vì \(\widehat{AHK}=90^0\))
⇒ ΔHAK vuông cân tại H ⇒ AK = \(\sqrt{2}AH\)
Ta có : \(\dfrac{S_{SAC}}{S_{SAB}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AH.SC}{\dfrac{1}{2}AK.SB}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.SA.AC}{\dfrac{1}{2}.SA.AB}\)
⇒ \(\dfrac{AH.SC}{AK.SB}=\dfrac{SA.AC}{SA.AB}\)
⇒ \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) . \(\dfrac{SC}{SB}\) = \(\dfrac{AC}{AB}\). Mà AC = a và AB = 2a
⇒ \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)\(\dfrac{SC}{SB}\) = \(\dfrac{1}{2}\) ⇒ \(\dfrac{SC^2}{SB^2}\) = \(\dfrac{1}{2}\) . Mà SB2 - SC2 = BC2 = 3a2
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SC^2=3a^2\\SB^2=6a^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SB=a\sqrt{6}\\SC=a\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) ⇒ SA = a\(\sqrt{2}\)
Từ đó ta tính được SH = \(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) và SK = \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
Gọi M là trung điểm của SB thì ta có CM // HK (cùng vuông góc với SB)
Khoảng cách từ HK đến AC bằng khoảng cách từ HK đến (AMC)